PlusAchtergrond

Wiskundige: ‘Geef middelbare scholieren het vak logisch redeneren’

Les in logisch redeneren, voorbeeld van een syllogisme. Beeld Lotte Dijkstra
Les in logisch redeneren, voorbeeld van een syllogisme.Beeld Lotte Dijkstra

Mensen die logisch kunnen redeneren, zijn weerbare burgers. Beter in staat een zinnige discussie te voeren. Beter bestand tegen drogredeneringen en nepnieuws. Aldus wiskundig onderzoeker Hugo Bronkhorst. Hij wil logisch redeneren als vak laten opnemen in het lespakket van middelbare scholen.

Mieke Zijlmans

Als het regent, dan is de straat nat. Dus: als de straat nat is, dan regent het. Wacht: misschien is iemand zijn auto aan het wassen. Of piest er een hondje tegen de stoeprand. Daar wordt de straat ook nat van. Je realiseren dat zo’n als-danredenering – ‘als het regent, dan wordt de straat nat’ – niet altijd zomaar kan worden omgedraaid, is een voorbeeld van logisch kunnen redeneren.

Dat klinkt wiskundig: logisch redeneren. Dus jaag je scholieren die wiskunde lastig vinden, ermee in de gordijnen; die gaan hier geen zin in hebben. Wiskundeleraar en onderzoeker Hugo Bronkhorst heeft nu een toegankelijke manier uitgeknobbeld om leerlingen deze manier van denken bij te brengen. Hij bepleit dat deze aanpak wordt opgenomen in het lesprogramma van alle middelbare scholen en wel vanaf de eerste klas. Bronkhorst is aan de Rijksuniversiteit ­Groningen gepromoveerd op de methode en zijn onderzoek naar het effect ervan.

Nadenken

Wat betekent dat eigenlijk: logisch redeneren? Bronkhorst: “We doen dat allemaal, elke dag, als we gaan nadenken. Logisch redeneren begint waar intuïtie eindigt. Wanneer er iets onverwachts gebeurt, reageer je in een reflex: dat is intuïtie. Als je begint met nadenken over je situatie, dan valt dat onder logisch redeneren. Je zet bij wijze van spreken een stap achteruit en vraagt je af: is de informatie wel betrouwbaar? Wie zegt wat over een onderwerp? Wanneer een dokter praat over geneeskunde, dan is die informatie waarschijnlijk betrouwbaarder dan als je iets over gezondheid op Facebook leest. Over de informatie die je krijgt, ga je zelf nadenken. Je gaat informatie ­selecteren, verbanden leggen, dan interpreteren en uiteindelijk een conclusie trekken.”

Bronkhorst heeft een lesprogramma ontwikkeld en dat uitgeprobeerd op leerlingen verspreid over acht scholen van Zeeland tot ­Groningen. Deze 56 proefleerlingen kregen tien lessen in logisch redeneren. Daarnaast was er een controlegroep van 107 leerlingen, die kregen geen speciale lessen. Allemaal vwo-leer­lingen met het niet-bètaprofiel Cultuur en Maatschappij, waarin wiskunde C is opgenomen. De ideale testpersonen, wat Bronkhorst betreft. “Die leerlingen zijn misschien niet zo algebraïsch aangelegd. Zij leren hiermee ­meteen dat wiskunde breder is dan werken met functies en formules.”

Lucia de B.

Om ze de beginselen van het logisch redeneren bij te brengen, ging Bronkhorst uit van verschillende basisdenkmodellen, onder meer uitgaand van echte gebeurtenissen. Zo gebruikt hij de ­bewijsvoering in het proces tegen verpleegkundige Lucia de B., die ten onrechte werd beschuldigd van meerdere moorden. Bijvoorbeeld: ‘Als A: de baby is vergiftigd, dan B: loopt de baby blauw aan.’ Dat zou kunnen kloppen: als A waar is, is B ook waar. Maar B kan ook waar zijn, zonder dat A waar is: misschien loopt die baby blauw aan zonder dat hij is vergiftigd en is er iets anders aan de hand met het kind. Leerlingen moeten die valkuil analyseren door de zin in een schetsje te zetten.

Een andere wiskundige notering: het venn­diagram. Dat maakt gebruik van cirkeltjes die elkaar al dan niet overlappen. Zo kun je een ­grote cirkel tekenen die alle mensen voorstelt. Daarbinnen teken je dan een kleinere cirkel die mensen voorstelt die zich vrouw voelen en eentje voor mensen die zich man voelen. Die kleine cirkels zullen elkaar deels overlappen: er zijn immers mensen die zich zowel man als vrouw voelen. Zo vermijd je de conclusie dat alle mensen zich man of vrouw voelen. De verzameling ‘honden’ krijgt dan een eigen cirkeltje, vanzelfsprekend buiten de cirkel ‘mensen’.

Syllogisme

Een geestig logisch denkmodel is het zogenoemde syllogisme: twee stellingen met een daaruit afgeleide conclusie. Voorbeeld: pin­guïns zijn zwart-wit. Vooroorlogse films zijn zwart-wit. Conclusie: pinguïns zijn vooroorlogse films. De onderzoeker gebruikt het principe van het syllogisme om drogredeneringen aan de kaak te stellen.

En Bronkhorst reikt schema’s aan die beginnen met blokjes met gelijkwaardige informatie. Elk blokje bevat informatie over één onderwerp. Vandaaruit leiden pijlen via via tot een conclusie. Bijvoorbeeld: een blokje voor Amsterdammers, een blokje Haarlemmers en een blokje Zaankanters. Die wonen allemaal in Noord-­Holland en Noord-Hollanders wonen allemaal in Nederland. Schematisch gezien: Amsterdammers, Haarlemmers, Zaankanters => wonen in Noord-Holland => wonen in Nederland. Dit schema kun je niet zomaar omdraaien, want dan klopt de redenering niet meer: niet alle ­Nederlanders wonen in Noord-Holland en Noord-Hollanders niet per se in een van deze steden. Een kind kan de was doen, zo simpel is het.

Denkschema’s

Bronkhorst heeft zo een heel lespakket met teksten en denkschemaatjes gemaakt. Tijdens de lessen brengen de leerlingen voorbeelden ­onder in zulke schema’s. Tot slot laat de leraar ieders oplossing aan de klas zien, zodat iedereen kan zien dat je vaak tot dezelfde conclusie kunt komen via verschillende routes.

Om te onderzoeken of zijn methode werkt, kregen alle deelnemende leerlingen – de 56 proefleerlingen en de 107 uit de controlegroep – voorafgaand en na afloop van de lessen dezelfde toets. Bijgeschoolde leerlingen bleken de ­schema’s, venndiagrammen en analyses te kunnen toepassen op losse zinnen, redeneringen en krantenartikelen, waardoor ze de manieren van bewijzen en de drogredeneringen eruit wisten te vissen. De leerlingen uit de controlegroep ­benaderden de achteraftoets op dezelfde ­manier als de vooraftoets en doorzagen redeneringen veel minder vaak.

Mediawijsheid

Bronkhorst pleit er daarom voor logisch redeneren op te nemen in het lesprogramma van ­middelbare scholieren. “Er valt veel winst te ­behalen door scholieren manieren aan te leren om informatie uit elkaar peuteren en te analyseren,” stelt hij. “Ze worden daardoor weerbaarder in de huidige informatiemaatschappij. Er is zo veel informatie beschikbaar. Selecteren van ­informatie doe je vaak niet zelf: dat doet bijvoorbeeld de browser die je gebruikt, of de newsfeed. Wees je daarvan bewust. Verwerf een zekere ­mate van mediawijsheid: dat valt allemaal ­onder de ­noemer kritisch denken.”

Hugo Bronkhorst Beeld
Hugo Bronkhorst

CV

Hugo Bronkhorst, 22 sept 1981, Boxtel

2003 Fontys Lerarenopleiding wiskunde, Tilburg

2004 Thompson Rivers University, British Columbia, Canada

2006 Victoria University of Wellington, Nieuw-Zeeland

2007 Master Rijksuniversiteit Groningen

2008-heden leraar wiskunde CS Vincent van Gogh, Assen

2021 promotie Rijksuniversiteit Groningen

Meer over